이차함수 그래프, a·b·c가 바뀌면 어떻게 움직일까

이차함수는 식은 외웠는데 그래프가 떠오르지 않아 막히는 경우가 많습니다. 사실 y = ax² + bx + c의 그래프는 a, b, c가 각각 맡은 역할만 알면 식을 보자마자 대략의 모양을 그릴 수 있습니다. 이 글에서는 세 값을 하나씩 바꿔 보며 포물선이 어떻게 달라지는지 정리합니다.

기본은 y = x²

모든 이차함수 그래프는 y = x²를 늘이거나 뒤집고 옮긴 모양입니다. y = x²는 원점 (0, 0)이 가장 낮은 점(꼭짓점)이고, 좌우가 y축을 기준으로 똑같은 포물선입니다. x가 1, 2, 3으로 커질 때 y는 1, 4, 9로 늘어나서, 가운데에서 멀어질수록 빠르게 올라갑니다.

a: 열리는 방향과 폭

a는 그래프의 방향과 폭을 정합니다.

• a가 양수이면 위로 열리고(아래로 볼록), 음수이면 아래로 열립니다(위로 볼록).
• a의 절댓값이 클수록 폭이 좁아지고, 작을수록 넓어집니다. 예를 들어 x = 2일 때 y = 2x²는 8, y = x²는 4, y = 0.5x²는 2입니다.

c: 위아래로 그대로 옮기기

c는 가장 단순합니다. 그래프 전체를 위아래로 c만큼 옮깁니다. y = x² + 2는 y = x²를 위로 2만큼, y = x² − 3은 아래로 3만큼 옮긴 모양입니다. 또 x = 0을 넣으면 y = c이므로, c는 그래프가 y축과 만나는 점이기도 합니다.

b: 꼭짓점이 비스듬히 움직인다

b는 헷갈리기 쉬운 값입니다. b를 바꾸면 그래프가 옆으로만 움직일 것 같지만, 실제로는 꼭짓점이 옆과 아래로 함께 움직입니다. 꼭짓점의 위치는 다음 식으로 구합니다.

예를 들어 y = x² − 4x + 3이면 꼭짓점의 x좌표는 −(−4) ÷ 2 = 2이고, 식에 2를 넣으면 4 − 8 + 3 = −1이므로 꼭짓점은 (2, −1)입니다. 식을 y = (x − 2)² − 1로 바꿔 써도 같은 결과가 나옵니다. 이 그래프는 y축과 (0, 3)에서, x축과는 x = 1, 3에서 만납니다.

그림처럼 a = 1, c = 0에서 b만 바꾸면 꼭짓점은 (1, −1), (0, 0), (−1, −1)로 옮겨 가는데, 이 점들은 모두 y = −x² 위에 있습니다. 그래서 b는 "옆으로 미는 값"이라기보다 "꼭짓점을 비스듬한 길을 따라 옮기는 값"으로 이해하는 편이 정확합니다.

식만 보고 그래프 그리는 순서

앞의 내용을 합치면, 식을 보고 다음 순서로 대략의 그래프를 그릴 수 있습니다.

y = x² − 4x + 3이라면 위로 열리고, (0, 3)을 지나고, 꼭짓점은 (2, −1)입니다. 꼭짓점의 x좌표가 2이므로 (0, 3)의 반대쪽 짝은 (4, 3)입니다. 점 네 개만으로도 모양이 거의 정해집니다.

자주 하는 실수

• 꼭짓점 x좌표의 부호: y = (x − 2)²의 꼭짓점은 x = −2가 아니라 x = 2입니다. 괄호 안이 0이 되는 x를 찾는다고 생각하면 덜 헷갈립니다.
• a의 크기와 폭을 반대로 기억하기: a가 클수록 "넓다"가 아니라 "좁다"입니다. x = 1을 넣어 y값을 비교해 보면 바로 확인됩니다.
• c를 꼭짓점의 높이로 착각하기: c는 y축과 만나는 점입니다. b가 0일 때만 꼭짓점의 높이와 같습니다.

식과 그래프의 관계는 값을 직접 바꿔 보며 볼 때 가장 빨리 익숙해집니다. 바꾸기 전에 "어떻게 될까?"를 먼저 예상하고 결과와 비교해 보세요. 이차함수의 계수를 슬라이더로 움직이며 그래프 변화를 볼 수 있는 수학 실험실 앱으로 연습해 보는 것도 방법입니다.